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合情推理
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情推理,是美籍数学家波利亚在30年代提出的概念,它是指“观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正和调控等方法”。波利亚在致力改变美国数学落后状态的工作中,大力倡导合情推理的方法,并获得成功。
    在数学学科教学中,我们重视和加强了双基教学,但学生在校所学到的学科知识,随着他们离开学校,多数会逐渐忘掉,甚至有的会忘得“一干二净”。如果说“教育是所有学会的东西都忘却以后,仍然留下来的那些东西”(M•劳厄),学生学习数学获得的不仅仅是知识,除此之外,更为重要的是思想与方法。而在研究探究性学习的今天,我们的教学一直在研究如何组织和组织的形式上,对在发展过程中使用的合情推理等方法没有予以足够的重视,而这些恰恰是人的优秀文化素质的重要组成部分。再联想到有关团体对中外学生调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的信息,不能不使我们感到加强对合情推理能力的培养已是刻不容缓。
    一、合情推理在数学能力发展中的功能和作用 
    《数学课程标准(实验稿)》在课程的具体目标中明确提出了“培养和发展学生的合情推理能力”。合情推理,它“是在认知过程中,主体根据自己在日常生活中积累的知识、经验,经过非演绎(或非完全演绎)的思维而得到合乎情理、理想化结论的一种推理方式”。其主要表现在:“它可能是……”(猜测),“做出来看一看”(实验),“由上所述可得……”(归纳),“将人心比自心”(类比),“可以想象”(联想)等。
    合理推理与通常所说的论证推理是不相同的。论证推理是可靠的;而合情推理是根据经验、知识、直观与感觉得到的一种可能性结论的推理,它推出的结论不一定都正确,却和论证推理一样在数学和生活中都有广泛的应用。在社会生活中,医生诊断疾病,法官审判案件,军事家指挥战争,人际交往等都应用合情推理。一些科学发现的思维,也主要是合情推理:量子力学方程是猜出来的;球体公式是阿基米德“称”出来的;而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果。事实证明,合情推理的这两种主要推理方式‘归纳’和‘类比’,不受逻辑规则的约束具有强烈的创造性质,它推动了数学的进步和发展。尽管由类比、归纳得出的结论不一定正确,必须加以论证才能确立,但它在数学教学中突出发展学生创造性思维的重要作用应给予充分的重视,因为小学生的认知能力擅长归纳和类比。     我们在教育实践中加强合情推理能力的培养,还可以使受教育者将日常事务中积累的经验、方法用于学习,提高学习的兴趣,提高解决问题的能力。而在其中,又将那自然状态下的合情推理,提高到一个更加合理更加科学的层次,可能成为“科学发现的金钥匙”。
    二、小学数学教学中合情推理能力的培养
    在小学数学教学中,可以根据儿童的心理特点,结合教材内容,有意识地从以下几个方面来培养小学生的合情推理能力,从而培养学生的创造性思维。
    (一)为学生的合情推理创设空间
    波利亚说:“有效地应用合情推理是一种实际技能”,“要通过模仿和实践来学习它,在实践中发展合情推理能力”, 因此,教师要充分发挥其主导作用,引导学生参与教学。问题情境的创设是学生参与学习的前提。把学科的内容隐入情境,提供给学生足以探索的数学材料,创设具有一定合理自由度的思维空间,要突出问题(应有一定的难度和开放性),把问题放在“需要”与“认知结构”矛盾的风口浪尖,同时也注意对学生情绪背景的创设。不仅要创设引入问题的情境,也要创设好每个环节的情境。情境的创设应满足:a.可能导致发现;b.一定的趣味性;C.便于学生参与,但要防止让学生看了书上的结论一语点破。
如:我们学习“分数的基本性质”时,可以用“猴王分饼”这一童话故事创设趣味情境;如学习“乘法运算定律”时,可以联系学生原有“学习加法运算定律”的知识经验,利用类比推理创设问题情境;如学习“圆的认识”时为学生创设一个操作情境:可以提供图钉、铅笔、棉线等材料,让学生在自主探索如何画圆时,发现圆的基本性质和概念。
    师生感情融洽也是参与教学的感情保证,而“知识情感”则是学生参与教学的“认知内驱力”,教师要把学生的情感调整到乐于研究、探索问题上,让学生在“寻找回来的世界中”动脑、动手、动口去探索猜测(要积极鼓励各种猜测,不能只限定在教师的猜想中),在亲身经历知识的产生过程中,提高应用合情推理的技能。
    (二)引导学生运用合情推理探索和发现数学知识
    日本的著名教育家米山国藏曾说:“我们搞了这么多年的数学教育,发现学生们在初中、高中等接受的数学知识,出校不到一两年,很快就忘掉了。然而,不管他们从事什么工作,惟有深深铭记于头脑中的数学精神、数学思维的方法、研究方法、推理方法却随时发生作用,使他们受益终生”。也正因为如此,我们在不同教学时如果能注意数学思想方法的渗透,学生也会因此积累一些解决问题的经验。比如,在小学数学中的法则、性质、公式或辨析易混概念等教学时,我们可以有意识地引导学生根据所掌握的信息,对一定条件下可能产生的结论,用合理推理的方法先进行合理的猜测,形成假说、猜想,然后再予以验证,从而得出法则、性质、公式等知识。
    1、发现规律性知识时
    合情推理的两种主要推理方式是“类比”和“归纳”。类比是指通过比较两个对象或两类事物属性的相似、相同,从而猜测等待解决的问题或事物与相关问题或事物的属性是否相同或相似,得出数学新命题或新方法,如教学“分数的基本性质”、“商不变性质”、“分数和除法有密切关系”等常常利用类比推理。而归纳就是对研究对象或问题从一定数量的特例进行观察分析,应用不完全归纳法得出有关命题的形式,结论或方法的猜想,根据这种推理作出直觉发现的过程,如著名的歌德巴赫猜想,“三角形的面积等于平行四边形面积的一半”等。从理论上讲,两种方法是分开的,事实上,我们在实际教学时,常常是几种方法互相配合,交叉使用的。
    比如说如在小学数学中教学“长方体的体积公式”时,可以先引导学生用小木块摆长方体,获得有关长方体的长、宽、高和体积的数据。再要求学生观察这些数据进行合理的猜想,猜想出长方体的体积公式,然后再要求学生进行论证以确认长方体的体积公式是否正确。最后引导学生将长方形和长方体作类比,比较长方形、长方体的名称、图形及边的长度名称,找出相同之处及两者之间的联系(归纳),从而进一步提高学生的合情推理能力。
    学生在学习过程中,积累的一些发现问题、解决问题的经验,这正是进一步学习所需要的能够持续发展的动力之所在,是教学可供利用的重要资源。也正因为如此,我们应该在教学中加强合情推理能力的培养。
    现附具体操作要求如下:
    教学目标 教学内容 教学形式 对教师要求
    1、积极思维,大胆猜测,形成假说(猜想);
    2、合情推理的方法得到训练。
    假说、猜想形成过程及其运用。 一般是学生观察,独立思考,辅以二、三人的讨论、研究,也可以是全班的“七嘴八舌”。 1、心理换位,用一个普通学生的角色参与探讨;2、在观察、归纳、类比等的难点上给学生以点拨;3、要给学习的后进生以特别的关注,给他们的提示可直接些、具体 些;4、要引导学生积极地运用其自身所拥有的合情推理方法,教师本人也要进行较高层次的合情推理方法的示范,以此逐步提高学生的合情推理的能力,提高猜想的可靠性。
    2、预测可能性问题时
    “体验事件发生的可能性,游戏规则的公平性,计算一些简单事件发生的可能性。”这是《标准》的具体目标之一。学生在日常生活、游戏中,的确需要对一些可能发生的事件,作出判断和合情推理。比如:在两方球队比赛时,预测此场比赛谁获胜的可能性大,并阐述理由,学生必然会根据两支球队以往比赛的胜负情况或当时赛场的情况等方面作出猜想。这种预测结论的形成是学生利用类比、归纳等多种进行合情推理的结果。又如:一刀能把西瓜切成两块、两刀能切成四块,那么3刀能切成多少块西瓜?n刀呢?这个问题我们就可以利用操作、实验等合情推理的方法去解决,可以推进学生合情推理能力的培养。
    3、实验探究问题时
    当对要探究的问题,初步形成假说、猜想后,学生对知识的理解仅停留在猜测阶段,没有真正的内化,根据小学生年龄特征和认识规律(动作感知——建立表象——形成概念),我们应积极创造条件,要求学生“做出来看一看”,这也是数学课在对猜想进行推理证明前所进行的必要步骤。如学习“商不变性质”时,当学生提出“被除数变大后,除数不变,商也变大”等猜想,可以引导学生验征“你们发现的规律是不是在除法运算中真的成立呢?”学生通过举例、验证,有些表示赞同,有些甚至会毫无疑问,但当有一个学生发现9÷3=3  10÷3=3……1商并没有变时,引起了激烈争论:当场就有一名学生提出反驳,“有了余数,就说明结果变大了”。学生在争论操作感知时,对商不变性质有了更深刻的体验,合情推理能力也得到了培养。教师在实验的过程中,应起到画龙点睛的作用,帮助学生用类比、特殊化等合性推理的方法选择特例或设计实验来检验猜想,并引导学生用学科规范的语言表达结论;同意时还要注意保护得出“不同”猜想的同学的积极性。在逐步形成结论的过程中,教师要引导学生真正暴露出合情推理的思维过程,并使之得到优化。
当然不同年龄段要求也不相同,《标准》明确指出:第一学段(13年级):在教师的帮助下,初步学会选择有用信息进行简单的归纳与类比。第二学段(46年级):能根据解决问题的需要,收集有用的信息,进行归纳、类比与猜测 ,发展初步的合情推理能力。第三学段(79年级):能收集、选择、处理数学信息,并作出合理的推断或大胆的猜测;能用实例对一些数学猜想作出检验,从而增加猜想的可信程度或推翻猜想。
    4、选择数学解题途径时
    猜测和检验是问题解决的一种策略,也是一种有效的策略。当我们面对一个全新问题时,可能会有很多种解题方法,我们也常常会进行一些尝试性的猜测,再根据不同的猜测结果进行修正。
     例如:有100位和尚,吃100个馒头,大和尚每人吃3个,小和尚每3人吃一个。问大小和尚各几人?
     首先指导学生作出一个猜测:小和尚有90个,则大和尚有10个,一共吃馒头60个。猜测有误,指导学生修正猜测。所作猜测馒头数较少,故小和尚数过多,第二次猜测时小和尚人数应适当减少,如下表格
     次数      小和尚人数     大和尚人数    所吃馒头个数
    第一次         90             10             60
    第二次         60             30            110
    第三次         75             25            100
    经过上述的猜测、检验、修正等过程后问题得了解决。不难看出,即使学生不会列方程解应用题,不会假设法来解决这个问题,通过合情推理,学生也能找到解决问题的线索。
    (三)在反思、评价和引申中培养合情推理能力
    对学生合情推理的能力的培养与提高离不开学生对其“提出猜想——检验”;“修正猜想——验证、证明”这一学习过程的反思。无论是提出猜想的过程、修正猜想还是验证猜想的过程都必须进行适当的反思,通过反思可以让学生更好地认识猜想的提出必须要有合理性且充满着探索性和创造性,感受验证和证明的必要。反思也是提高学生提出猜想的质量,修正猜想的能力和验证猜想的能力必不可少的重要一环,同时也是学生学会数学思考的必要条件。
    平常我们应多要求学生在形成结论后,及时回顾和重新审视解决问题的全过程,如:在得出“能被3整除的数的特征”后,教师可适当反思:刚才我们是怎样发现规律的?学生可能会说出探究问题时的过程“先……再……”;也可能说出自己在学习过程中听取了哪些同学的意见,受到了哪些启发;聪明的学生也会能就会根据所学习的内容进行质疑,寻找新的思路、方法。在引导学生自我认知的过程中,重建学生的认知结构,使其与原有知识的逻辑联系更明晰,使某些“技巧”上升为“方法”,使一些有意义的经验、方法、思想得到及时的提取。
    同时,在学生进行合情推理的过程中教师作为学生学习的合作者和指导者,必须对学生的合情推理进行积极地评价,尤其对学生的认识体会教师要进行及时的、有效的分析和概括,帮助学生对解决问题的方法进行提炼和哲学思考。
    而引申则是在形成结论后,在可能的条件下,要对其进行变换条件扩展结论(可称先证后猜)。结论和条件的变通和应用,可能提出新的挑战性问题,对于发展学生的创造能力有利。

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